خب بیا امروز یه موضوع خیلی باحال و البته تقریباً تخصصی رو با هم باز کنیم: “کمی‌سازی عدم قطعیت” یا Uncertainty Quantification (UQ). اگه بخوایم خیلی خودمونی بگیم، این یعنی اینکه وقتی توی یه مسئله‌ی علمی یا مهندسی داریم با داده‌ها یا شرایطی کار می‌کنیم که دقیق نیستن یا یه جورایی شل هستن، چطوری بفهمیم جواب نهایی تقریباً چند مرده حلاجه! مثلاً اگه سرعت باد رو دقیق ندونی ولی باید سازه‌ی یه پل رو طراحی کنی، چجوری مطمئن شی با این عدم قطعیت‌ها پل فرو نمی‌ریزه؟
حالا معمولاً برای این کار میان مدل‌های جایگزین درست می‌کنن (به اینا میگن surrogate models). مدل جایگزین یعنی یه چیز سریع‌تر و ساده‌تر از اون مدل اصلی، که بشه باهاش کلی محاسبات انجام داد، بدون اینکه ساعت‌ها صبر کنیم. اما نکته مهم اینه که این مدل باید هم دقیق باشه و هم بتونه جلوی اشتباهات و نویزها رو، مخصوصاً تو نقطه‌هایی که جواب خیلی نرم و صاف نیست، خوب مدیریت کنه.
توی این مقاله یه روش توپ ارائه شده به اسم CWENO7 یا همون Central Weighted Essentially Non-Oscillatory از مرتبه هفت! اگه بخوام ساده بگم، این یه جور تکنیک ریاضی هست که موقع شبیه‌سازی و مدل‌سازی، کمک می‌کنه جواب‌ها صاف بمونن و مثل روش‌های قبلی به اصطلاح “نلرزن”. توی روش‌های کلاسیک‌تر مثل generalized polynomial chaos یا همون gPC (یه روش رایج برای مدل‌سازی مسائل تصادفی)، وقتی وضعیت‌ها خیلی نرم و صاف نباشه (مثلاً یه پرش یا قطع‌پیوستگی داشته باشیم)، جواب مدل می‌تونه شروع کنه به موج‌دار شدن و این اصلاً خوب نیست. به این حالت میگن Gibbs oscillations – منظورش همون لرزش‌ها یا نوسانات غیرعادی توی جواب عدده.
روش CWENO7 یه ترفند قشنگ داره. اونم اینه که به جای اینکه فقط یک مدل کلی بچسبونه به داده‌ها، از چند تا الگوی محلی (میگن local stencils) کمک می‌گیره و برای هر قسمت بهترین جواب رو پیدا می‌کنه. نتیجه چی میشه؟ هر جا که مسئله صاف و آرومه، فوق‌العاده دقیق عمل می‌کنه و اگه جایی ناگهان یه پرش باشه، مدلش شروع نمی‌کنه به پرش‌های الکی زدن! پس هم دقت بالاست، هم از “نوسان” اضافی خبری نیست.
تو این مقاله نویسنده‌ها اومدن خیلی باحوصله، روش CWENO7 رو با gPC مقایسه کردن. هم روی مسائل یک بعدی (مثلاً معادله‌هایی که فقط یه متغیر دارن)، هم دو بعدی و حتی روی چیزهای کاربردی‌تر مثل معادلات آب کم‌عمق (shallow water equations، یعنی مدل‌سازی رفتار سطح آب‌هایی که عمقشون زیاد نیست؛ مثل سیل یا رودخونه) – اون هم با ورودی‌های کاملاً تصادفی، تستش کردن.
نتایجش جالب بوده: توی جاهایی که gPC لرزش نشون میده، یعنی همون نقاط قطع‌پیوستگی و ناصافی، مدل CWENO7 همچنان جواب دقیق و آرومی میده. یعنی میانگین و انحراف معیار (standard deviation، یعنی پراکندگی جواب‌ها!) رو درست حساب می‌کنه و حتی توی به دست آوردن تابع چگالی احتمال (probability density function، خلاصه نشون میده شانس اتفاق افتادن هر جواب چقدره) خیلی دقیق‌تر درمیاد. از اون باحال‌تر اینکه این روش هم سریع اجرا میشه و هم اگه مسئله بزرگ‌تر شد (مثلاً مدل‌سازی با داده‌های بیشتر)، باز بدون دردسر جواب می‌گیری!
در کل، مقاله میگه اگه می‌خوای توی مسائل واقعی با عدم قطعیت، مخصوصاً جاهایی که جواب‌ها خوردن به دیوار یا گسستگی پیدا کردن (یعنی همه چی صاف و ساده نیست)، دنبال روش قابل اعتماد و دقیق و سریع باشی، CWENO7 بهترین گزینه است. پس دفعه‌ی بعد اگه دیدی مدل ریاضی که داری جوابش شده “برق و موج و لرزش”، یه سر به ماجرای CWENO7 بزن!
منبع: +
